O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2.
Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é
Resolução passo a passo (Matemática — ENEM 2019, Questão 159)
Enunciado resumido: Havia uma placa e a probabilidade de um motorista perceber uma única placa é 1/2. O dono quer instalar **novas** placas de modo que a probabilidade de um motorista perceber **pelo menos uma** das placas instaladas seja superior a 99/100. Pergunta: qual a quantidade mínima de **novas** placas a instalar?
Interpretar o problema Existe já 1 placa. Se o dono instalar \(n\) placas novas, o número total de placas será \(T=1+n\). A probabilidade de um motorista **não** perceber uma placa qualquer é \(1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\). Pressupomos independência entre as percepções das placas, então a probabilidade de **não** perceber nenhuma das \(T\) placas é \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{T}\).
Montar a desigualdade Queremos que a probabilidade de perceber **pelo menos uma** seja superior a \(99/100\). Assim: \[ 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{T} > \tfrac{99}{100}. \] Isolando a potência: \[ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{T} < \tfrac{1}{100}. \]
Resolver para \(T\) Tomando logaritmo (ou raciocinando em potências de 2): \[ T > \log_{2}(100). \] Como \(\log_{2}(100)\approx 6{,}6438\), segue que o menor inteiro \(T\) que satisfaz a desigualdade é \(T=7\).
Calcular o número de novas placas Lembrando que \(T=1+n\), temos \(1+n=7\) → \(n=6\).
Verificação numérica - Se instalar 5 novas placas (total \(T=6\)): \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\tfrac{1}{64}\approx0{,}015625\) → \(1-\tfrac{1}{64}\approx0{,}984375<0{,}99\) (não basta). - Se instalar 6 novas placas (total \(T=7\)): \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}=\tfrac{1}{128}\approx0{,}0078125\) → \(1-\tfrac{1}{128}\approx0{,}9921875>0{,}99\) (satisfeito).
Resposta final:6 — ou seja, são necessárias 6 novas placas (ficando 7 no total) para que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma ultrapasse 99/100.
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