Resolução passo a passo (Matemática — ENEM 2017, Questão 169)

Enunciado resumido: A figura mostra um terreno triangular representado em um plano cartesiano, com vértices nos pontos indicados. O problema pede para determinar o valor de \(X\), dado que o triângulo é isósceles.

1. Identificar os vértices:
   Os pontos do triângulo são \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) e \(C(2,X)\).
2. Condição do triângulo isósceles:
   Dois lados têm o mesmo comprimento. Possíveis lados iguais são: - \(AB\) e \(AC\) - \(AB\) e \(BC\) - \(AC\) e \(BC\)
3. Calcular as distâncias:
   - \(AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4\).
   - \(AC = \sqrt{(2-0)^2 + (X-0)^2} = \sqrt{4 + X^2}\).
   - \(BC = \sqrt{(4-2)^2 + (0 - X)^2} = \sqrt{4 + X^2}\).
4. Igualar lados para obter \(X\):
   Observamos que \(AC = BC\), então os lados iguais podem ser \(AC\) e \(BC\) — o que já é verdade para qualquer \(X\). Então os lados iguais podem ser \(AC = BC\), mas não determinam \(X\). Vamos testar igualar \(AB\) com \(AC\) ou \(BC\).
   
   Igualando \(AB = AC\): \[ 4 = \sqrt{4 + X^2} \Rightarrow 16 = 4 + X^2 \Rightarrow X^2 = 12 \Rightarrow X = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \]
5. Resposta:
   O valor de \(X\) que torna o triângulo isósceles é \(\boxed{2\sqrt{3}}\).