Resolução passo a passo (Matemática — ENEM 2020, Questão 141)

Enunciado resumido: Um hotel tem 3 andares, com 100 quartos em cada andar. Os quartos são numerados de 100 a 399. Cada número é formado por dígitos individuais afixados na porta. A pergunta é: qual a quantidade mínima de peças com o dígito 2 necessárias para numerar todos os quartos?

1. Determinar o intervalo dos números:
   Os quartos vão de 100 a 399, ou seja, 300 números no total.
2. Contar a ocorrência do dígito 2 em cada posição (centena, dezena, unidade):
• Centena:
  - De 100 a 199, centena é 1 → zero dígitos 2 na centena.
  - De 200 a 299, centena é 2 → 100 números com dígito 2 na centena.
  - De 300 a 399, centena é 3 → zero dígitos 2 na centena.
  → Total dígitos 2 na centena = 100.
```
• Dezena:
  Considerando os números de 100 a 399, contamos quantas vezes o dígito 2 aparece na casa da dezena.
  Para cada centena (100, 200, 300), a dezena varia de 0 a 9.
  Em cada grupo de 10 números consecutivos, o dígito 2 aparece uma vez na dezena (exemplo: 120–129 tem dezena 2 para 120 a 129, especificamente para os números de 120 a 129, a dezena 2 aparece 10 vezes).
  Como temos 3 centenas (100–199, 200–299, 300–399), e em cada centena o dígito 2 aparece 10 vezes na dezena (de 120 a 129, 220 a 229, 320 a 329), total:
  \(3 \times 10 = 30\) vezes.
• Unidade:
  Para a unidade, o dígito 2 aparece a cada 10 números.
  O total de números é 300 (de 100 a 399).
  O dígito 2 na unidade aparece em: 102, 112, 122, ..., 392.
  São 300 números / 10 = 30 vezes.
```
3. Somar todas as ocorrências:
   \[ 100 \text{ (centena)} + 30 \text{ (dezena)} + 30 \text{ (unidade)} = 160. \]

Resposta final: São necessárias 160 peças do dígito 2 para numerar todos os quartos.