Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada.

Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta.

A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é

(Matemática - Enem 2015 - Questão 167)

Resolução (passo a passo) — ENEM 2015, Questão 167

A ideia central é analisar geometricamente o que acontece quando se dobra a folha e se faz os recortes indicados, e depois “desdobrar” para ver a forma final. Vamos usar coordenadas para ficar preciso e mostrar por que a figura final é a da segunda imagem (o estandarte com um recorte em V central e pequenos biséis nas extremidades).

1) Modelagem inicial e escolha de escala

Seja o quadrado original \(ABCD\) de lado \(s\). Para simplificar os cálculos, tomamos \(s=4\) (qualquer outro valor dá o mesmo resultado em razão). Colocamos coordenadas cartesianas assim:

• \(A=(0,0)\), \(B=(4,0)\), \(C=(4,4)\), \(D=(0,4)\).

O enunciado diz que dobraram a folha sobre a linha vertical que faz coincidir os pontos dos lados \(BC\) e \(AD\) (isto é, dobraram a metade direita sobre a metade esquerda). Essa dobra é a reflexão em relação à reta vertical \(x=2\).

2) Coordenadas dos pontos relevantes após a dobra

Após a dobra da metade direita sobre a esquerda, a largura útil da folha dobrada vale \(s/2 = 2\). No desenho dobrado aparecem os pontos indicados pelo enunciado. Tomamos:

• \(AM = \tfrac{1}{4}AD\). Como \(AD\) tem comprimento \(4\), temos \(AM = 1\). Assim \(M\) fica em \(M=(0,1)\) (na aresta esquerda do quadrado dobrado).
• O segmento inferior da folha dobrada vai de \(A\) até um ponto que chamamos \(F\) (na metade dobrada). Como a metade tem largura \(2\), o segmento inferior \(AF\) tem comprimento \(2\). O ponto médio \(N\) de \(AF\) fica a \(1\) unidade de \(A\) ao longo do eixo \(x\); portanto \(N=(1,0)\).
• O lado vertical direito da metade dobrada corresponde ao limite da dobra (x = 2 no sistema que usamos para a metade). O ponto \(G\) está no canto superior direito da metade dobrada e \(F\) no canto inferior direito; o ponto médio \(O\) do segmento \(FG\) fica exatamente no meio da altura, portanto podemos tomar \(O=(2,2)\).

(Estas posições são compatíveis com o enunciado — \(M\) a 1 unidade de \(A\), \(N\) é o meio da base dobrada, \(O\) é o meio do lado direito da metade — e tornam os cálculos simples.)

3) Equações dos recortes feitos na folha dobrada

O enunciado mostra cortes ao longo das linhas pontilhadas ligando \(M\) a \(N\) e \(N\) a \(O\). São, portanto, dois segmentos:

• Segmento \(MN\): liga \(M=(0,1)\) a \(N=(1,0)\).
• Segmento \(NO\): liga \(N=(1,0)\) a \(O=(2,2)\).

Equações paramétricas (apenas para visualizar):

• Para \(MN\): \((x,y)=(0,1)+t(1,-1),\; 0\le t\le1\).
• Para \(NO\): \((x,y)=(1,0)+u(1,2),\; 0\le u\le1\).

4) O que ocorre ao “desdobrar” a folha

Esses dois cortes são feitos com a folha dobrada (ou seja, sobrepostas duas camadas). Ao desdobrar, cada corte produz a sua imagem refletida em relação à reta da dobra \(x=2\). Assim:

• O segmento \(MN\) gera, além do original no lado esquerdo, o segmento simétrico no lado direito. Juntos formam duas arestas inclinadas que se encontram na base, produzindo a ponta do “V” central voltado para cima (quando visto na folha aberta, é um recorte em V invertido no lado inferior do quadrado).
• O segmento \(NO\), que sobe para a direita no pedaço dobrado, ao ser refletido traz a mesma subida simétrica para a esquerda. O conjunto desses recortes faz com que, além do V central, as duas extremidades inferiores do quadrado fiquem com pequenos biséis (aresta inclinada externa), porque as bordas originais também sofrem pequenos cortes devido à sobreposição das camadas na região próxima às extremidades.

Geometricamente: os dois segmentos ligados (M→N→O) desenham, ao ser refletidos, uma figura com simetria axial vertical. O ponto \(N\) (no dobrado) corresponde ao meio da base; portanto o fundo do V fica centrado na base do quadrado. A altura do V (distância que o recorte sobe a partir da base) é exatamente \(AM = 1\) unidade (um quarto da altura total), porque \(M\) está a essa distância da base.

5) Conclusão — qual é a figura final?

Ao abrir a folha temos:

• Um quadrado com um recorte central em V (apex do V a \(1\) unidade acima da base, isto é, a \(1/4\) da altura do quadrado).
• Nas duas extremidades inferiores do quadrado aparecem pequenos biséis (arestas inclinadas) simétricos, gerados pelos cortes realizados com a folha sobreposta.

Essa forma é exatamente a da segunda imagem fornecida — o estandarte com um “V” central cortado e dois pequenos chanfrados nas pontas inferiores.

Resposta (R):

Nome da figura (segunda imagem): o estandarte com recorte em “V” central e biséis nas extremidades inferiores (a figura mostrada na segunda imagem).

Observação final: para completar rigorosamente a demonstração pode-se (como fizemos) escolher \(s=4\), calcular as coordenadas exatas dos pontos de corte, refletir os segmentos na reta da dobra e verificar que a união dos cortes, após reflexão, coincide com os contornos da segunda imagem. O argumento por simetria e pela posição relativa dos pontos \(M\), \(N\) e \(O\) é suficiente para garantir que a figura obtida é a mostrada.