(Matemática - Enem 2015 - Questão 155)

Enunciado

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura. O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em: (alternativas: 8π, 12π, 16π, 32π, 64π). :contentReference[oaicite:0]{index=0}

Resolução — passo a passo (em português)

1. Raio e área das antenas antigas.
   Cada área de cobertura antiga é um círculo de raio \(r=2\) km. A área de um desses círculos é \[ A_{\text{pequena}}=\pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi\ \text{km}^{2}. \] Como existem duas antenas iguais, a área total antiga é \[ A_{\text{antiga}}=2\cdot 4\pi=8\pi\ \text{km}^{2}.
2. Determinar o raio da nova antena.
   O novo centro fica em \(O\), que é o ponto de tangência das duas circunferências menores. Cada centro das circunferências pequenas está a uma distância de \(2\) km de \(O\) (essa distância é exatamente o raio \(r\) das pequenas). A nova circunferência engloba as pequenas (ela é maior), logo a tangência entre a circunferência maior (raio \(R\)) e uma pequena (raio \(r\)) é do tipo interno. Para tangência interna entre duas circunferências vale \[ \text{distância entre centros} = R - r. \] Aqui a distância entre o centro grande (em \(O\)) e o centro de uma pequena é \(2\). Então \[ R - r = 2 \quad\Rightarrow\quad R - 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad R = 4\ \text{km}. \] (Portanto o raio da nova antena é \(4\) km.)
3. Área da nova antena.
   \[ A_{\text{nova}}=\pi R^{2}=\pi\cdot 4^{2}=16\pi\ \text{km}^{2}. \]
4. Aumento da área de cobertura.
   \[ \Delta A = A_{\text{nova}} - A_{\text{antiga}} = 16\pi - 8\pi = 8\pi\ \text{km}^{2}. \]

Resposta final: a área de cobertura foi ampliada em \(8\pi\) km² — alternativa A. :contentReference[oaicite:1]{index=1}