A água utilizada pelos 75 moradores de um vilarejo provém de um reservatório de formato cilíndrico circular reto cujo raio da base mede 5 metros, sempre abastecido no primeiro dia de cada mês por caminhões-pipa. Cada morador desse vilarejo consome, em média, 200 litros de água por dia.
No mês de junho de um determinado ano, o vilarejo festejou o dia do seu padroeiro e houve um gasto extra de água nos primeiros 20 dias. Passado esse período, as pessoas verificaram a quantidade de água presente no reservatório e constataram que o nível da coluna de água estava em 1,5 metro. Decidiram, então, fazer um racionamento de água durante os 10 dias seguintes. Considere 3 como aproximação para л.

Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo

que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?

Resolução — passo a passo

1. Dados iniciais:
   - Número de moradores: 75
   - Consumo médio por morador por dia: 200 litros
   - Raio do reservatório: 5 m
   - Altura do nível de água após 20 dias: 1,5 m
   - Tempo para racionamento: 10 dias
   - \(\pi \approx 3\).
2. Calcular o volume inicial do reservatório (antes dos 20 dias):
   Seja \(h\) a altura inicial da água (desconhecida). O volume total inicial é: \[ V_{\text{inicial}} = \pi r^2 h = 3 \times 5^2 \times h = 75h \text{ m}^3. \]
3. Calcular o volume restante após os 20 dias:
   Volume após 20 dias: \[ V_{\text{restante}} = 3 \times 5^2 \times 1,5 = 3 \times 25 \times 1,5 = 112,5 \text{ m}^3. \]
4. Calcular o consumo total em 20 dias:
   Consumo diário total: \[ 75 \times 200 = 15.000 \text{ litros/dia} = 15 \text{ m}^3/\text{dia} \quad (\text{pois } 1\,\text{m}^3=1000\,\text{L}). \] Consumo em 20 dias: \[ 15 \times 20 = 300 \text{ m}^3. \]
5. Calcular o volume inicial \(V_{\text{inicial}}\):
   O volume inicial menos o volume consumido em 20 dias é o volume restante: \[ V_{\text{inicial}} - 300 = 112,5 \implies V_{\text{inicial}} = 412,5 \text{ m}^3. \] Assim, \[ 75h = 412,5 \implies h = \frac{412,5}{75} = 5,5 \text{ m}. \] Ou seja, a altura inicial da água era 5,5 metros.
6. Calcular o volume disponível para os 10 dias de racionamento:
   \(V_{\text{restante}} = 112,5 \text{ m}^3 = 112.500 \text{ litros}\).
7. Calcular o consumo total permitido por dia durante o racionamento:
   O volume disponível para os 10 dias é \(112.500\) litros, logo o consumo máximo diário total é: \[ \frac{112.500}{10} = 11.250 \text{ litros/dia}. \]
8. Calcular a economia necessária por morador por dia:
   Consumo atual diário total: \(75 \times 200 = 15.000\) litros/dia.
   Consumo permitido diário total: \(11.250\) litros/dia.
   Economia total diária necessária: \[ 15.000 - 11.250 = 3.750 \text{ litros/dia}. \] Economia por morador por dia: \[ \frac{3.750}{75} = 50 \text{ litros/dia}. \]

Resposta: cada morador deve economizar, em média, 50 litros por dia.