Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponivel em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para log10(2).
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

(Matemática - Enem 2018 - Questão 174)

Como calcular o ano em que a densidade de transistores atingirá 100 bilhões segundo a Lei de Moore

Em 1986, um processador tinha 100.000 transistores distribuídos em 0,25 cm². A densidade de transistores dobra a cada 2 anos, segundo a Lei de Moore.

Queremos descobrir em que ano a densidade alcançará 100 bilhões (10¹¹) de transistores por cm².

Passo 1: Calcular a densidade inicial em 1986:

Densidade inicial = 100.000 transistores / 0,25 cm² = 400.000 transistores/cm²

Passo 2: Usar a fórmula da progressão geométrica para a densidade ao longo do tempo:

D(t) = D₀ × 2^(t/2)

em que:

• D(t) é a densidade após t anos desde 1986;
• D₀ = 400.000 é a densidade inicial;
• t/2 é o número de períodos de 2 anos.

Passo 3: Queremos que D(t) = 10¹¹. Logo:

400.000 × 2^(t/2) = 10¹¹

Dividindo ambos os lados por 400.000:

2^(t/2) = (10¹¹) / 400.000 = 2,5 × 10⁵

Passo 4: Aplicar logaritmo base 10 nos dois lados:

(t/2) × log10(2) = log10(2,5 × 10⁵)

Usando a propriedade do logaritmo:

log10(2,5 × 10⁵) = log10(2,5) + log10(10⁵) = log10(2,5) + 5

Aproximando log10(2) ≈ 0,30 e log10(2,5) ≈ 0,40:

(t/2) × 0,30 = 0,40 + 5 = 5,40

Logo:

t/2 = 5,40 / 0,30 = 18

Multiplicando por 2:

t = 36 anos

Passo 5: Somar 36 anos a 1986:

1986 + 36 = 2022

Portanto, a densidade de transistores atingirá 100 bilhões no ano de 2022.