Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Pergunta: Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

(Matemática - Enem 2017 - Questão 161)

Question

Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Pergunta: Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

(Matemática - Enem 2017 - Questão 161)

Pergunta: Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

(Matemática - Enem 2017 - Questão 161)

Answer

Resolução passo a passo

Dados (da figura): a tela é usada apenas nas laterais e a cooperativa utiliza integralmente 100 m de tela (comprimento total ao redor). Assim, o perímetro da base é $P=100$. :contentReference[oaicite:0]{index=0}

Sejam $X$ e $Y$ as dimensões da base. O perímetro da base retangular é $$ 2(X+Y)=100 \quad\Rightarrow\quad X+Y=50. $$
A área da base é $$ A(X,Y)=X\cdot Y. $$ Usando $Y=50-X$, obtemos a função de uma variável $$ A(X)=X(50-X)=50X-X^{2}. $$
Para maximizar $A(X)$, derivamos e igualamos a zero: $$ A'(X)=50-2X=0 \quad\Rightarrow\quad X=25. $$ Como $A''(X)=-2<0$, trata-se de um máximo.
Usando $Y=50-X$, obtemos $Y=50-25=25$.

Conclusão: os valores que maximizam a área da base são $X=25$ m e $Y=25$ m.

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