Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

(Matemática - Enem 2019 - Questão 173)

🧾 Dados fornecidos:

• $P(I) = 0{,}20$ → 20% das declarações são inconsistentes.

• $P(F|I) = 0{,}25$ → 25% das declarações inconsistentes são fraudulentas.

• $P(F|\neg I) = 0{,}0625$ → 6,25% das declarações não inconsistentes são fraudulentas.

A pergunta é:

❓ Qual a probabilidade de que uma declaração seja inconsistente, dado que ela é fraudulenta?

Ou seja, queremos calcular:

$$P(I|F)$$

📌 Usamos o Teorema de Bayes:

$$P(I|F) = \frac{P(F|I) \cdot P(I)}{P(F)}$$

Precisamos calcular o denominador $P(F)$, ou seja, a probabilidade total de uma declaração ser fraudulenta, independentemente de ser inconsistente ou não.

1️⃣ Calcular $P(F)$ usando a probabilidade total:

$$P(F) = P(F|I) \cdot P(I) + P(F|\neg I) \cdot P(\neg I)$$

Sabemos que:

• $P(I) = 0{,}20$

• $P(\neg I) = 1 - P(I) = 0{,}80$

• $P(F|I) = 0{,}25$

• $P(F|\neg I) = 0{,}0625$

Agora substituímos:

$$P(F) = (0{,}25 \cdot 0{,}20) + (0{,}0625 \cdot 0{,}80)$$ $$P(F) = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}10$$

2️⃣ Agora aplicamos na fórmula de Bayes:

$$P(I|F) = \frac{0{,}25 \cdot 0{,}20}{0{,}10} = \frac{0{,}05}{0{,}10} = \boxed{0{,}5}$$

✅ Resposta final:

$$\boxed{0{,}5000}$$

Ou seja, a probabilidade de uma declaração ser inconsistente, dado que é fraudulenta, é de 0,5 (ou 50%).