🧠 Enunciado:

• A meia-vida do césio-137 é 30 anos.

• A massa restante de um material radioativo após t anos é dada por:

$$M(t) = A \cdot (2,7)^{kt}$$

Onde:

• $A$ é a massa inicial

• $k$ é uma constante negativa

• $t$ é o tempo em anos

A pergunta é:

Quanto tempo é necessário para que a massa se reduza a 10% da massa inicial?

Ou seja:

$$M(t) = 0{,}1 \cdot A$$

🧮 Passo a Passo:

Sabemos que:

$$M(t) = A \cdot (2,7)^{kt}$$

Queremos encontrar o tempo $t$ tal que:

$$0{,}1 \cdot A = A \cdot (2,7)^{kt}$$

Dividimos os dois lados por $A$ (como $A \neq 0$):

$$0{,}1 = (2,7)^{kt}$$

Agora aplicamos o logaritmo dos dois lados (base 10):

$$\log(0{,}1) = \log((2,7)^{kt})$$ $$\log(0{,}1) = kt \cdot \log(2{,}7)$$

Sabemos que:

• $\log(0{,}1) = -1$ (pois $0{,}1 = 10^{-1}$)

• O enunciado fornece $\log(10^x) \approx 0{,}3$ para $x = \log(2{,}7) \approx 0{,}43$, mas essa aproximação não é exata. No entanto, vamos usar a meia-vida como referência para encontrar $k$.

🔄 Usando a meia-vida para encontrar $k$

Quando $t = 30$, a massa se reduz à metade, ou seja:

$$\frac{A}{2} = A \cdot (2{,}7)^{30k}$$

Dividimos os dois lados por $A$:

$$\frac{1}{2} = (2{,}7)^{30k}$$

Aplicamos logaritmo dos dois lados:

$$\log\left(\frac{1}{2}\right) = 30k \cdot \log(2{,}7)$$ $$\log(0{,}5) = 30k \cdot \log(2{,}7)$$

Sabemos que:

• $\log(0{,}5) = -0{,}3$

• $\log(2{,}7) \approx 0{,}43$

Agora substituímos:

$$-0{,}3 = 30k \cdot 0{,}43 \Rightarrow k = \frac{-0{,}3}{30 \cdot 0{,}43} \approx \frac{-0{,}3}{12{,}9} \approx -0{,}02326$$

📌 Voltando para a equação principal:

Queremos saber quando $M(t) = 0{,}1 \cdot A$:

$$0{,}1 = (2{,}7)^{kt} \Rightarrow \log(0{,}1) = kt \cdot \log(2{,}7) \Rightarrow -1 = kt \cdot 0{,}43$$

Substituindo $k \approx -0{,}02326$:

$$-1 = (-0{,}02326)t \cdot 0{,}43 \Rightarrow -1 = -0{,}01 \cdot t \Rightarrow t = 100$$

✅ Resposta final:

O tempo necessário para que a massa de césio-137 se reduza a 10% da massa inicial é:

$$\boxed{100 \text{ anos}}$$

✔️ Argumentação final:

A equação exponencial que representa o decaimento do césio-137 depende do valor da constante $k$, que foi determinado usando a informação da meia-vida (30 anos). Ao substituir na fórmula e resolver a equação logarítmica, determinamos que 100 anos é o tempo necessário para que reste apenas 10% da massa inicial. A matemática utilizada é coerente com o comportamento do decaimento radioativo, confirmando que a resposta correta é 100 anos.