Solución paso a paso (ENEM 2020 — Questão 158)

Problema: contar los caminos desde la casa de André (A) hasta la casa de Bernardo (B) siguiendo sólo movimientos a la derecha (→) o hacia arriba (↑), y sin pasar por la casa de Carlos (C). A continuación se muestra la solución combinatoria paso a paso.

1) Interpretación y movimientos necesarios

Observando la cuadrícula, para ir de A a B se requieren 4 desplazamientos a la derecha y 3 desplazamientos hacia arriba, es decir, en total 7 movimientos (4→ y 3↑).

2) Número total de caminos de A a B (sin restricciones)

El número de formas de ordenar 7 movimientos, donde 4 son iguales (→) y 3 son iguales (↑), viene dado por la combinación

 C(7,4) = 7! / (4! · 3!) 

Cálculo paso a paso:

• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• Denominador = 4! · 3! = 24 × 6 = 144
• Por tanto, C(7,4) = 5040 / 144 = 35

Total de caminos A → B (sin restricciones) = 35.

3) Número de caminos que pasan por C (hay que restarlos)

Contamos primero los caminos que pasan por C (A → C → B). Se multiplican las posibilidades de cada tramo:

• De A a C hace falta 2→ y 2↑ (4 movimientos).
• Número de órdenes: C(4,2) = 4! / (2!·2!)

Cálculo A → C:

• 4! = 24
• 2! = 2 ⇒ 2!·2! = 2 × 2 = 4
• C(4,2) = 24 / 4 = 6

• De C a B hace falta 2→ y 1↑ (3 movimientos).
• Número de órdenes: C(3,1) = 3! / (2!·1!)

Cálculo C → B:

• 3! = 6
• 2!·1! = 2 × 1 = 2
• C(3,1) = 6 / 2 = 3

Por la regla del producto: caminos que pasan por C = (A → C) × (C → B) = 6 × 3 = 18.

4) Caminos válidos (sin pasar por C)

Restamos los caminos prohibidos (que pasan por C) del total:

 Caminos válidos = Total (A→B) − Caminos que pasan por C = 35 − 18 = 17 

Respuesta final: 17 caminos.

ENEM 2020, Questão 158, caminos en cuadrícula, combinatoria, permutaciones con repetición, C(7,4)=35, 35−18=17

([Xequemat Enem][1], [descomplica.com.br][2]) [1]: https://xequematenem.com.br/blog/questao-158-enem-2020/?utm_source=chatgpt.com "Enem 2020: Três amigos, André, Bernardo e Carlos...-xequemat" [2]: https://descomplica.com.br/gabarito-enem/questoes/2020/segundo-dia/o-numero-de-diferentes-caminhos-que-andre-podera-utilizar-para-realizar-o-deslocamento-nas-condicoes/?utm_source=chatgpt.com "Questão 158 da prova azul do segundo dia do Enem 2020"