QUESTÃO 160

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de $3000 ° C$ e diminui $1 %$ de sua temperatura a cada $30 \min$ .

Use $0,477$ como aproximação para ${log}_{10} (3)$ e $1,041$ como aproximação para ${log}_{10} (11)$ .

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja $30 ° C$ é mais próximo de

(Matemática - Enem 2010 - Questão 160)

Question

QUESTÃO 160

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de $3000 ° C$ e diminui $1 %$ de sua temperatura a cada $30 \min$ .

Use $0,477$ como aproximação para ${log}_{10} (3)$ e $1,041$ como aproximação para ${log}_{10} (11)$ .

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja $30 ° C$ é mais próximo de

(Matemática - Enem 2010 - Questão 160)

Accepted Answer

🔎 Resolução — Questão 160 (ENEM 2010)

Uma liga parte de 3000 °C e sua temperatura diminui 1% a cada 30 min. Queremos saber quanto tempo (em horas) leva para a liga atingir 30 °C.

📌 Modelo exponencial

Após n ciclos de 30 minutos a temperatura é:

$T = 3000 \times (0.99)^{n}$

Queremos $T = 30$ , ou seja:

$3000 \times (0.99)^{n} = 30$

📐 Passo 1 — Isolar a potência

Dividindo ambos os lados por 3000:

$(0.99)^{n} = \frac{30}{3000} = 0.01$

📐 Passo 2 — Aplicar logaritmo base 10

Tomando log₁₀ dos dois lados:

$n \times \log_{10} (0.99) = \log_{10} (0.01)$

Como $\log_{10} (0.01)= -2$ , segue:

📐 Passo 3 — Avaliar log₁₀(0.99) usando as aproximações

Observamos que $0.99 = 99/100$ , então:

$\log_{10} (0.99) = \log_{10} (99) - \log_{10} (100)$

E como $99 = 9 × 11 = 3^2 × 11$ , temos:

$\log_{10} (99) = 2 \times \log_{10} (3) + \log_{10} (11)$

Usando as aproximações fornecidas no enunciado:

$\log_{10} (3) ≈ 0,477$
$\log_{10} (11) ≈ 1,041$

Logo:

$\log_{10} (99) ≈ 2 \times 0,477 + 1,041 = 1,995$

Portanto:

$\log_{10} (0.99) ≈ 1,995 - 2 = - 0,005$

📐 Passo 4 — Calcular n

Substituindo em $n \log_{10} (0.99) =-2$ :

$n = \frac{-2}{-0,005} = 400$

Logo, são 400 intervalos de 30 minutos.

⌛ Passo 5 — Converter para horas

Cada intervalo é de 30 minutos = 0,5 hora. Assim:

null

🏁 Resposta Final

200 horas

Error

Pergunta de: Matemática e suas Tecnologias

QUESTÃO 160

Soluções

🔎 Resolução — Questão 160 (ENEM 2010)

📌 Modelo exponencial

📐 Passo 1 — Isolar a potência

📐 Passo 2 — Aplicar logaritmo base 10

📐 Passo 3 — Avaliar log₁₀(0.99) usando as aproximações

📐 Passo 4 — Calcular n

⌛ Passo 5 — Converter para horas

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