Um investidor inicia um dia com x ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas operações, ele segue estes critérios:

1. Vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima do valor ideal (Vi);
2. Compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo (Vm);
3. Vende todas as ações que possui, quando seu valor fica acima do valor ótimo (Vo).

O gráfico apresenta o período de operações e a variação do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo.

Quantas operações o investidor fez naquele dia?

(Matemática - Enem 2011 - Questão 136)

Enunciado (resumo)

Um investidor inicia o dia com x ações. Durante o dia ele realiza apenas operações de compra ou venda obedecendo aos critérios:

• I. vende metade das ações que possui assim que o preço fica acima do valor ideal (Vi);
• II. compra a mesma quantidade de ações que possui assim que o preço fica abaixo do valor mínimo (Vm);
• III. vende todas as ações que possui quando o preço fica acima do valor ótimo (Vo).

O gráfico mostra a variação do preço ao longo do dia com as linhas horizontais indicando Vo (acima), Vi (intermediária) e Vm (abaixo). Pergunta-se: quantas operações o investidor fez naquele dia?

Fonte

Matemática — ENEM 2011 — Questão 136.

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Resposta

Resolução lógica e argumentada (passo a passo)

1. Estado inicial: o investidor começa o dia com x ações.
2. Primeiro evento — preço sobe acima de Vi:

   Ao primeiro cruzamento ascendente do preço acima de Vi, aplica-se a regra I: ele vende metade das ações que possui. Então, imediatamente após essa operação, suas ações passam de x para x/2.

   Operações acumuladas: 1 (venda de metade).

3. Segundo evento — preço cai abaixo de Vm:

   Quando o preço atinge Vm (queda abaixo do mínimo), aplica-se a regra II: ele compra a mesma quantidade que possui naquele instante. Como possuía x/2, compra mais x/2. Assim, suas ações voltam a ser x/2 + x/2 = x.

   Operações acumuladas: 2 (1 venda + 1 compra).

4. Terceiro evento — preço sobe novamente acima de Vi:

   Ao subir novamente acima de Vi, aplica-se novamente a regra I: ele vende metade do que tem no momento. Com x ações nesse instante, vende x/2, ficando com x/2.

   Operações acumuladas: 3.

5. Quarto evento — preço atinge Vo (acima do ótimo):

   Quando o preço ultrapassa Vo, aplica-se a regra III: ele vende todas as ações que possui. Nesse ponto ele possuía x/2, então vende essas x/2 e fica com zero ações.

   Operações acumuladas: 4.

6. Eventos posteriores:

   Depois de ter vendido todas as ações (ficar com 0), as regras posteriores não geram novas operações relevantes: a regra II (comprar a mesma quantidade que possui quando o preço fica abaixo de Vm) só faria o investidor comprar uma quantidade igual à que já tem — se ele tem 0, compraria 0. Logo, não há operações adicionais que alterem o total.

Conclusão: contabilizando todas as operações desencadeadas pelos cruzamentos do preço com as três faixas indicadas no gráfico, o investidor realizou 4 operações naquele dia, o que confirma R = 4.

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